Datorbaserade experiment med brussignal

[4kTRB]

Om du delar höjderna med 0.05 så blir nog arean ett under din kurva, och blir därmed jämförbar med standard normalfördelning: 1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2)

Om jag multiplicerar mina tänkta brusamplituder med 20 så kommer
kurvan att anta den standardiserade normalfördelningen och då
kommer ytan under kurvan bli 1.

Brusamplituderna och kurvans y-värden antar egentligen brusets RMS vilket
är det som man mäter i en praktisk uppkoppling. Praktiskt sett när man designar
kretsar så säger man att brusspänningens värde ligger inom +/-3 gånger ett
standardiserat RMS (1) runt ett medelvärde (0). Kurvan är centrerad runt noll
och motvarar en sannolikheten på 0.5 att ögonblicksvärdet är antingen över eller
under medelvärdet.
Topp-till-topp värdet är alltså mindre än 6 gånger RMS-värdet 99.7% av tiden.
0.3% av tiden finns det större toppar. Och det är väl det man får avväga om det
är acceptabelt eller inte.

[4kTRB]

Testade med 5 000 000 slumptal och multiplicerade med 20, 1/sqr(2pi)/0.02.
Då ska ytan under kurvan bli nära 1.


[/url]

[4kTRB]

Jag adderade en utskrift från mitt javaprogram där varje intervall multipliceras
med stapelhöjden och summerade med föregående. Klistrade in värdena i kalkylbladet
och skapade ett diagram. Så här har jag nu både täthetsfunktionen och
fördelningsfunktionen i samma graf. Fördelningsfunktionen är alltså nästan
som integralen av täthetsfunktionen, en integralfunktion. Summan blir 1.

[4kTRB]

Nu borde jag alltså kunna verifiera tumregeln +/-3 inom 99.7%.

För -3 får jag tätheten = 0.0047
För +3 får jag tätheten = 0.0041

Ytan fås ur fördelningsfunktionen.
Från vänster fram till -3 så blir ytan 0.0016048
Från vänster fram till +3 så blir ytan 0.9988594
Ytan från +3 till höger blir 1-0.9988594 = 0.0011406
Totala ytan vänster till -3 och ytan +3 till höger = 0.0016048 + 0.0011406 = 0.0027454
Om nu hela ytan är 100% så blir totala ytan 0.27454% och övriga ytan = 100-0.27454 =
99.72546

[Nerre]

Man kan ju fundera över hur de löste sånt där innan det fanns datorer...

[4kTRB]

Integrera var de duktiga på förr så det var nog inga större problem att
få fram samma siffror som datorn ger.

[4kTRB]

Det finns ett begrepp som kallas väntevärde, ett värde man kan förvänta sig.
Så jag tänkte om det går att tillämpa på brus?

Om jag tänker mig 3st komparatorer uppbyggda med op.
Den första ger en utsignal på 1V om spänningen på ingången hamnar
över 1V
Den andra ger en utsignal på 2V om spänningen på ingången hamnar
över 2V
Den tredje ger en utsignal på 3V om spänningen på ingången hamnar
över 3V

Ligger inte spänningarna inom rätt område fås 0V ut från respektive op.

Sedan kopplar jag de här utspänningarna till en summator byggd utav en op som
ger utspänning samma som summan.

Frågan är nu vilken spänning i genomsnitt jag kan förvänta mig ut från summatorn?

Sannolikheten P(u>1) = 1 - ɸ(1.00) = 1 - 0.853285 = 0.146715
Sannolikheten P(u>2) = 1 - ɸ(2.00) = 1 - 0.9799442 = 0.0200558
Sannolikheten P(u>3) = 1 - ɸ(3.00) = 1 - 0.9988692 = 0.0011308

Definitionen på väntevärde
Väntevärdet fås som utfallen multiplicerat med respektive sannolikhet som sedan summeras...
1x0.146715 + 2x0.0200558 + 3x0.0011308 = 0.190219
Alltså runt 190mV.


Man får alltså föreställa sig att det kommer toppar på 1V, 2V och 3V lite då och då utspridda över tiden och
medelvärdet under en viss tid blir 190mV. Ett LP-filter på summatorns utgång borde ge en likspänning på 190mV.
Verkar ju som lite logiskt och vore kul att testa praktiskt.

Skulle det finnas ytterligare 3 komparatorer för -1V, -2V och -3V som respektive ger -1V, -2V och -3V när
respektive nivå underskrids och som adderas i summatorn så verkar det logiskt att väntevärdet ska bli runt noll.

[4kTRB]

Fast nu funderar jag lite på om det där med summatorn
var riktigt bra för om en signal går över 3V så kommer
de andra ge 1V och 2V samtidigt och utsignalen blir 6V.

Om jag istället kopplar dom på ett sånt sätt att det endast
blir utsignal från en i taget så kommer det nog bli mer riktigt.
Och då kan jag slopa summatorn.

>3V => endast ">3V komparatorn" ger 3V ut
>2V => endast ">2V komparatorn" ger 2V ut
>1V => endast ">1V komparatorn" ger 1V ut.

[Andax]

Om du ska köra med komparatorer för att skatta väntevärdet bör du nog ligga på flanken på fördelningsfunktionen, dvs kanske jämföra med -1, 0 och 1 istället för 1, 2 och 3 om man tror att väntevärdet ligger i närheten av 0.

[4kTRB]

Väntevärdet blir så klart olika beroende på vilka utfall
jag önskar samla in. Men det är sant som du skriver
att väntevärdet blir 0 om man önskar ha med samtliga utfall.

[4kTRB]

Nu när jag lärt mig lite basic om slumpartade förlopp så hoppar jag på
lite mer praktiska saker.


Bruset från en resistor är termiskt brus och fås som Et = √4kTRΔf
där Δf är det frekvensintervall som är aktuellt. Alltså desto större
frekvensområde man mäter bruset inom desto större blir Et.

Kopplas resistorn till ett LP-filter med olika -3dB bandbredd så fås
olika Et på utgången (mätt med en true RMS voltmeter).
Nu är inte Δf det samma som -3dB bandbredd
utan Δf är alltid större än -3dB bandbredden. När det gäller ett LP-filter
så kommer Δf bandbredden att närma sig -3dB bandbredden desto
brantare filter man har.

Alltså måste Δf beräknas för att man ska kunna beräkna Et.

Δf fås som ytan under överföringskurvan, |Av(f)|, kvadrerad som sedan
divideras med Av(f):s maxamplitud i kvadrat.

Integralen av |Uut(f)/Uin(f)|^2 från noll till oändligheten dividerat med
maxvärdet av kurvan |Uut(f)/Uin(f)|^2 ger Δf

När man ska mäta brus från tex en resistor så bygger man en modell
med en brusfri resistor i serie med en spänningskälla som representerar
bruset. Sedan kopplas resistorn till en brusfri förstärkare med viss bandbredd
i överföringsfunktionen. Utsignalen mäts med en True RMS voltmeter.

LTSpice har en del möjligheter till beräkning som är väldigt trevliga.
Bland annat så går det integrera ytan under en kurva som plottas vilket inte alls är dumt
då det blir extremt tidsödande att integrera även de enklare överföringsfunktioner med
penna och papper. Sedan finns även funktion för att hitta kurvans max.

Så jag konstruerade ett 4:e ordningens Bessel och lät LTSpice beräkna Δf.

Jag ska använda det här filtret som ingång på en förstärkare sedan hade jag tänkt.
Ska bli kul att se vad det kan leda till.

fg fås vid -9dB då detta passiva filter har en grundämpning på -6dB (RS=RL).

[4kTRB]

Nu när Δf är beräknad så kan jag studera hur termiska bruset fördelar sig i filtret
och vilka nivåer det hamnar på.

Spektrala brustätheten
S(f) = Et^2/Δf = 4kTR W/Hz eller V^2/Hz
är den nivå bruset hamnar på när man mäter på det vid en given frekvens
alltså när man BP-filtrerar med ett idealt 1Hz filter.

Om V1 är brusfri så bidrar endast R1 och R2 med brus.

Temperatur T=27+273, R=2637 =>
S(f) = 4.3669*10^-17 V^2/Hz per resistor.

Bruset från R1 och R2 kan ses som 2st bruskällor som filtreras av filtret.

S(f) påverkas av filtrets överföringsfunktion H(f) så S(f) på utgången fås som
S(f) = 4kTR(Hmax)^2 där Hmax är maxamplituden av H(f).

Eno är noise output.

Eno^2/Δf = S(f) =
4.3669*10^-17 * 0.5^2 =
1.0917*10^-17 W/Hz
.......................................___.....................__
Vanligare är att presentera √S(f) = 3.3041 nV/√Hz
................................................................__
R1 ger alltså spektrala brustätheten 3.3041 nV/√Hz och det samma gäller för R2.
....................................._______________________________.........................__
Bruskällor summeras som √(3.3041*10^-9)^2 + (3.3041*10^-9)^2 = 4.6727 nV/√Hz =
S(f) = 2.1834*10^-17 W/Hz

Totala bruset på utgången är integralen av S(f) över den aktuella brusbandbredden Δf
...........______.......____________________
Eno = √Δf*S(f) = √ 52269 *2.1834*10^-17 = 1.07uV

Definitionen på ingångsbrus Eni = Eno/Av

Det ger att bruset ökar vid högre frekvens då Av för filtret minskar vid brytfrekvensen.

in_totn: INTEG(v(inoise))=2.66994e-006 FROM 1 TO 52269
out_totn: INTEG(v(onoise))=1.15004e-006 FROM 1 TO 52269

Rosa kurvan visar integralen av Eno och den stoppar vid ungefär 1.25uV.
INTEG(v(onoise)) (=1.15uV) ska ge samma värde men jag tror skillnaden beror på att
LTSpice beräknar det uttrycket på avrundade data.

1.07uV som blir resultatet av formeln förutsätter att S(f) är konstant över hela frekvensområdet
vilket inte är fallet men det är ändå en bra koll på resultatet.

V(inoise) hamnar på dubbla amplituden gentemot V(onoise) eftersom filtret har Av=0.5

I R1 minskar bruset vid högre frekvens men det påverkar inte Eno mycket då
bruskällorna summeras kvadratiskt.

[4kTRB]

Spice är bra, jag lär mig betydligt snabbare genom att simulera än att enbart
läsa i boken.

Har testat att modellera en brusfri förstärkare som förstärker upp en termisk bruskälla
med en brustäthet på 3nV/√Hz.

Med Av=5ggr så fås 15nV/√Hz från förstärkaren och sedan bidrar de två resistorerna
i filtret med 3.3nV/√Hz per styck. Ska man referera det som ingångsbrus så hamnar de
på 6.6nV/√Hz. Totala brustätheten på utgången blir hälften av ingångsbrustätheten då R3=R4.

Intressant är att totala RMS-bruset på 4.3uV reduceras till 1.9uV på grund av filtrets bandbredd.
I serie med Hen skulle man kunna tänka sig en signalkälla som först förstärks 5ggr och sedan dämpas
en faktor 2 av filtret, alltså total förstärkning på 2.5 för signalen medans bruset mer än halverats på den sträckan.

Edit:

V1 är referensesen för V(inoise). Därifrån kommer 15nV/√Hz och därifrån
refereras bruset från R3 och R4. Sedan så kanske SPICE-koden gör det hela
en aning mer begripligt...

R1 100 0 16560
Vesen 100 0 0
R4 0 UT 2637
C1 N002 0 281pF
L1 N002 N003 5.65mH
C2 N003 0 1.31nF
L2 N003 UT 18.8mH
R3 N002 IN 2637
V1 IN oA AC 1
CinA N001 0 100pF
EoA oA 0 N001 0 5
GRinA 0 N001 0 N001 10u
Hen 0 N001 Vesen 3000