Svenska ElektronikForumet

Det här var så pass spännande att försöka sig på så jag tar
det som ett litet projekt att försöka mig på att förstå grunderna
om brus som uppkommer i elektronik. Samtidigt så lär jag mig
en del om sannolikhetsteori och då inom området stokastisk
variabel/funktion.

Jag har skrivit ett litet program i Java som genererar en uppsättning
slumptal från en odefinierad nedre gräns på tallinjen till en odefinierad
övre gräns. Typiskt om jag genererar 1000 slumptal så hamnar värdena
mellan ca: -3 och +3.

Om jag tänker mig varje genererat slumptal motsvara ett sample av en
kontinuerlig brussignal så motsvarar varje värde en amplitud.

Nu vet jag inte än vart det hela kommer leda men säg att mellan varje
sample så är det 1us då motsvarar 1000 sample 1ms av en brussignal
och det är nog i sammanhanget inte särskilt mycket data då tex 1s
med brus lär ge betydligt bättre resultat att jobba efter.

Jag läser mig till att om man kan sampla ett stort antal amplituder och
beräknar antalet amplituder som hamnar inom specifika intervall så
kommer resultatet bli Gausskurvan. Och har man sedan den kurvan så
går det tex att beräkna sannolikheten för att brusspänningen kommer
nå över en viss amplitud. Sannolikheten fås som ett tal mellan 0 och 1
där 1 är det samma som att det till 100% kommer inträffa. Följer man
Gausskurvan så är sannolikheten 1 att amplituden 0 inträffar och sedan
avtar sannolikheten ju större amplituder man kollar efter.

Termiskt brus som uppstår i resistorer är tydligen väldigt likt vitt brus
och vitt brus har Gaussfördelning.
http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_noise

Jag läser om Random.org där de skapar slumptal genom att ratta
in ett antal radiomottagare för att fånga in atmosfäriskt brus.
Lär väl bli ganska bra slumptal antar jag.
http://en.wikipedia.org/wiki/Random.org

Det kanske lättaste sättet att förstå Johnssonbrus är att tänka sig en ledare som står termiskt jämvikt med ett motstånd i änden. Ledaren har en frihetsgrader per mod, och varje frihetsgrad har medelenergin 1/2 kT, vilket man i sin tur begriper om man noga läser på och tar till sig Boltzmanns kinetiska gasteori, och tagit till sig begreppet termiskt jämvikt.

Det är inte meningsfullt att jag här försöker förklara Boltzmanns teori, men det är en teori värd att kunna, och att förstå den kräver att man tänker igenom den ordentligt.

Hagelbruset begriper man om man läser på om Poissonprocessen inom sannolikhetsläran.

Och sedan kan man fundera igenom varför båda dessa härledningar ger vitt brus.

Och sedan, var gränsen går där bruset inte längre är vitt. Och varför det inte längre är vitt. Den utravioletta katastrofen. Den som ordentligt förstått detta har förstått mer än jag!

Jag vet att bruset blir färgat om man låter vitt brus passera ett filter.

Och nu över till lite praktiska experiment.
2000 slumptal och så 60 intervall om 0.1.
Frekvens talar om hur många tal som hamnar i det aktuella intervallet
och relativ frekvens är frekvens/2000.

Relativa frekvensen ska prickas i på y-axel och intervallen ska
finnas på x-axeln. Jag får ta och koda en enkel *-graf tror jag.

• 
  -3,0 < k <= -2,9 Frekvens: 1 Relativ Frekvens: 0,0005
  -2,9 < k <= -2,8 Frekvens: 2 Relativ Frekvens: 0,0010
  -2,8 < k <= -2,7 Frekvens: 4 Relativ Frekvens: 0,0020
  -2,7 < k <= -2,6 Frekvens: 3 Relativ Frekvens: 0,0015
  -2,6 < k <= -2,5 Frekvens: 2 Relativ Frekvens: 0,0010
  -2,5 < k <= -2,4 Frekvens: 2 Relativ Frekvens: 0,0010
  -2,4 < k <= -2,3 Frekvens: 3 Relativ Frekvens: 0,0015
  -2,3 < k <= -2,2 Frekvens: 6 Relativ Frekvens: 0,0030
  -2,2 < k <= -2,1 Frekvens: 9 Relativ Frekvens: 0,0045
  -2,1 < k <= -2,0 Frekvens: 8 Relativ Frekvens: 0,0040
  -2,0 < k <= -1,9 Frekvens: 11 Relativ Frekvens: 0,0055
  -1,9 < k <= -1,8 Frekvens: 16 Relativ Frekvens: 0,0080
  -1,8 < k <= -1,7 Frekvens: 21 Relativ Frekvens: 0,0105
  -1,7 < k <= -1,6 Frekvens: 24 Relativ Frekvens: 0,0120
  -1,6 < k <= -1,5 Frekvens: 25 Relativ Frekvens: 0,0125
  -1,5 < k <= -1,4 Frekvens: 31 Relativ Frekvens: 0,0155
  -1,4 < k <= -1,3 Frekvens: 33 Relativ Frekvens: 0,0165
  -1,3 < k <= -1,2 Frekvens: 42 Relativ Frekvens: 0,0210
  -1,2 < k <= -1,1 Frekvens: 30 Relativ Frekvens: 0,0150
  -1,1 < k <= -1,0 Frekvens: 54 Relativ Frekvens: 0,0270
  -1,0 < k <= -0,9 Frekvens: 54 Relativ Frekvens: 0,0270
  -0,9 < k <= -0,8 Frekvens: 50 Relativ Frekvens: 0,0250
  -0,8 < k <= -0,7 Frekvens: 70 Relativ Frekvens: 0,0350
  -0,7 < k <= -0,6 Frekvens: 66 Relativ Frekvens: 0,0330
  -0,6 < k <= -0,5 Frekvens: 76 Relativ Frekvens: 0,0380
  -0,5 < k <= -0,4 Frekvens: 59 Relativ Frekvens: 0,0295
  -0,4 < k <= -0,3 Frekvens: 73 Relativ Frekvens: 0,0365
  -0,3 < k <= -0,2 Frekvens: 78 Relativ Frekvens: 0,0390
  -0,2 < k <= -0,1 Frekvens: 74 Relativ Frekvens: 0,0370
  -0,1 < k <= 0,0 Frekvens: 72 Relativ Frekvens: 0,0360
  0,0 < k <= 0,1 Frekvens: 79 Relativ Frekvens: 0,0395
  0,1 < k <= 0,2 Frekvens: 79 Relativ Frekvens: 0,0395
  0,2 < k <= 0,3 Frekvens: 89 Relativ Frekvens: 0,0445
  0,3 < k <= 0,4 Frekvens: 77 Relativ Frekvens: 0,0385
  0,4 < k <= 0,5 Frekvens: 68 Relativ Frekvens: 0,0340
  0,5 < k <= 0,6 Frekvens: 74 Relativ Frekvens: 0,0370
  0,6 < k <= 0,7 Frekvens: 57 Relativ Frekvens: 0,0285
  0,7 < k <= 0,8 Frekvens: 52 Relativ Frekvens: 0,0260
  0,8 < k <= 0,9 Frekvens: 55 Relativ Frekvens: 0,0275
  0,9 < k <= 1,0 Frekvens: 54 Relativ Frekvens: 0,0270
  1,0 < k <= 1,1 Frekvens: 43 Relativ Frekvens: 0,0215
  1,1 < k <= 1,2 Frekvens: 35 Relativ Frekvens: 0,0175
  1,2 < k <= 1,3 Frekvens: 40 Relativ Frekvens: 0,0200
  1,3 < k <= 1,4 Frekvens: 27 Relativ Frekvens: 0,0135
  1,4 < k <= 1,5 Frekvens: 32 Relativ Frekvens: 0,0160
  1,5 < k <= 1,6 Frekvens: 29 Relativ Frekvens: 0,0145
  1,6 < k <= 1,7 Frekvens: 25 Relativ Frekvens: 0,0125
  1,7 < k <= 1,8 Frekvens: 16 Relativ Frekvens: 0,0080
  1,8 < k <= 1,9 Frekvens: 14 Relativ Frekvens: 0,0070
  1,9 < k <= 2,0 Frekvens: 11 Relativ Frekvens: 0,0055
  2,0 < k <= 2,1 Frekvens: 9 Relativ Frekvens: 0,0045
  2,1 < k <= 2,2 Frekvens: 8 Relativ Frekvens: 0,0040
  2,2 < k <= 2,3 Frekvens: 8 Relativ Frekvens: 0,0040
  2,3 < k <= 2,4 Frekvens: 6 Relativ Frekvens: 0,0030
  2,4 < k <= 2,5 Frekvens: 0 Relativ Frekvens: 0,0000
  2,5 < k <= 2,6 Frekvens: 1 Relativ Frekvens: 0,0005
  2,6 < k <= 2,7 Frekvens: 3 Relativ Frekvens: 0,0015
  2,7 < k <= 2,8 Frekvens: 4 Relativ Frekvens: 0,0020
  2,8 < k <= 2,9 Frekvens: 0 Relativ Frekvens: 0,0000
  2,9 < k <= 3,0 Frekvens: 0 Relativ Frekvens: 0,0000
  

Som jämförelse en körning med 20000 slumptal.
Det syns tydligt att relativa frekvensen ökar runt 0.

• 
  
  -3,0 < k <= -2,9 Frekvens: 17 Relativ Frekvens: 0,0009
  -2,9 < k <= -2,8 Frekvens: 12 Relativ Frekvens: 0,0006
  -2,8 < k <= -2,7 Frekvens: 9 Relativ Frekvens: 0,0005
  -2,7 < k <= -2,6 Frekvens: 20 Relativ Frekvens: 0,0010
  -2,6 < k <= -2,5 Frekvens: 30 Relativ Frekvens: 0,0015
  -2,5 < k <= -2,4 Frekvens: 47 Relativ Frekvens: 0,0024
  -2,4 < k <= -2,3 Frekvens: 42 Relativ Frekvens: 0,0021
  -2,3 < k <= -2,2 Frekvens: 58 Relativ Frekvens: 0,0029
  -2,2 < k <= -2,1 Frekvens: 77 Relativ Frekvens: 0,0039
  -2,1 < k <= -2,0 Frekvens: 89 Relativ Frekvens: 0,0045
  -2,0 < k <= -1,9 Frekvens: 108 Relativ Frekvens: 0,0054
  -1,9 < k <= -1,8 Frekvens: 157 Relativ Frekvens: 0,0079
  -1,8 < k <= -1,7 Frekvens: 165 Relativ Frekvens: 0,0083
  -1,7 < k <= -1,6 Frekvens: 192 Relativ Frekvens: 0,0096
  -1,6 < k <= -1,5 Frekvens: 268 Relativ Frekvens: 0,0134
  -1,5 < k <= -1,4 Frekvens: 284 Relativ Frekvens: 0,0142
  -1,4 < k <= -1,3 Frekvens: 350 Relativ Frekvens: 0,0175
  -1,3 < k <= -1,2 Frekvens: 349 Relativ Frekvens: 0,0175
  -1,2 < k <= -1,1 Frekvens: 409 Relativ Frekvens: 0,0205
  -1,1 < k <= -1,0 Frekvens: 437 Relativ Frekvens: 0,0219
  -1,0 < k <= -0,9 Frekvens: 517 Relativ Frekvens: 0,0259
  -0,9 < k <= -0,8 Frekvens: 502 Relativ Frekvens: 0,0251
  -0,8 < k <= -0,7 Frekvens: 634 Relativ Frekvens: 0,0317
  -0,7 < k <= -0,6 Frekvens: 648 Relativ Frekvens: 0,0324
  -0,6 < k <= -0,5 Frekvens: 711 Relativ Frekvens: 0,0356
  -0,5 < k <= -0,4 Frekvens: 741 Relativ Frekvens: 0,0371
  -0,4 < k <= -0,3 Frekvens: 729 Relativ Frekvens: 0,0365
  -0,3 < k <= -0,2 Frekvens: 783 Relativ Frekvens: 0,0392
  -0,2 < k <= -0,1 Frekvens: 797 Relativ Frekvens: 0,0399
  -0,1 < k <= 0,0 Frekvens: 796 Relativ Frekvens: 0,0398
  0,0 < k <= 0,1 Frekvens: 801 Relativ Frekvens: 0,0401
  0,1 < k <= 0,2 Frekvens: 853 Relativ Frekvens: 0,0427
  0,2 < k <= 0,3 Frekvens: 815 Relativ Frekvens: 0,0408
  0,3 < k <= 0,4 Frekvens: 747 Relativ Frekvens: 0,0374
  0,4 < k <= 0,5 Frekvens: 701 Relativ Frekvens: 0,0351
  0,5 < k <= 0,6 Frekvens: 658 Relativ Frekvens: 0,0329
  0,6 < k <= 0,7 Frekvens: 667 Relativ Frekvens: 0,0334
  0,7 < k <= 0,8 Frekvens: 599 Relativ Frekvens: 0,0300
  0,8 < k <= 0,9 Frekvens: 557 Relativ Frekvens: 0,0279
  0,9 < k <= 1,0 Frekvens: 513 Relativ Frekvens: 0,0257
  1,0 < k <= 1,1 Frekvens: 448 Relativ Frekvens: 0,0224
  1,1 < k <= 1,2 Frekvens: 406 Relativ Frekvens: 0,0203
  1,2 < k <= 1,3 Frekvens: 356 Relativ Frekvens: 0,0178
  1,3 < k <= 1,4 Frekvens: 321 Relativ Frekvens: 0,0161
  1,4 < k <= 1,5 Frekvens: 250 Relativ Frekvens: 0,0125
  1,5 < k <= 1,6 Frekvens: 240 Relativ Frekvens: 0,0120
  1,6 < k <= 1,7 Frekvens: 199 Relativ Frekvens: 0,0100
  1,7 < k <= 1,8 Frekvens: 195 Relativ Frekvens: 0,0098
  1,8 < k <= 1,9 Frekvens: 105 Relativ Frekvens: 0,0053
  1,9 < k <= 2,0 Frekvens: 116 Relativ Frekvens: 0,0058
  2,0 < k <= 2,1 Frekvens: 81 Relativ Frekvens: 0,0041
  2,1 < k <= 2,2 Frekvens: 84 Relativ Frekvens: 0,0042
  2,2 < k <= 2,3 Frekvens: 57 Relativ Frekvens: 0,0029
  2,3 < k <= 2,4 Frekvens: 44 Relativ Frekvens: 0,0022
  2,4 < k <= 2,5 Frekvens: 37 Relativ Frekvens: 0,0019
  2,5 < k <= 2,6 Frekvens: 37 Relativ Frekvens: 0,0019
  2,6 < k <= 2,7 Frekvens: 29 Relativ Frekvens: 0,0015
  2,7 < k <= 2,8 Frekvens: 23 Relativ Frekvens: 0,0012
  2,8 < k <= 2,9 Frekvens: 18 Relativ Frekvens: 0,0009
  2,9 < k <= 3,0 Frekvens: 12 Relativ Frekvens: 0,0006
  
  

Tre körningar med 2000 slumptal och varje stapel
motsvarar ett intervall om 0.1.

Inte alls illa då det faktiskt liknar Gausskurvan en hel del!

Sannolikheten att ett värde ska vara tex större än 2 men
mindre än eller lika med 2.5 ska fås som ytan under kurvan
mellan 2 och 2.5. Ytan under hela kurvan ska vara 1 för det
motsvarar sannolikheten att ett värde är större än -oo och
mindre eller lika med +oo och det verkar logiskt tycker jag.

Från x=0 till x=oo så blir ytan 0.5, alltså sannolikheten att
hitta ett värde större än 0 och mindre än lika med +oo är 0.5!


-3,0*
-2,9***
-2,8*
-2,7*****
-2,6**
-2,5******
-2,4*****
-2,3*****
-2,2*******
-2,1****************
-2,0**********
-1,9*******************
-1,8************************
-1,7****************
-1,6***********************
-1,5**********************
-1,4******************************
-1,3***********************************
-1,2***********************************
-1,1*************************************************
-1,0************************************************
-0,9****************************************************************************************
-0,8**********************************************************
-0,7****************************************************************
-0,6****************************************************************
-0,5***************************************************************
-0,4***********************************************************************
-0,3**********************************************************************************
-0,2***************************************************************************************
-0,1*************************************************************************************
0,0*****************************************************************************
0,1*****************************************************************************
0,2******************************************************************************
0,3*******************************************************************************
0,4*************************************************************
0,5*************************************************************************
0,6*****************************************************
0,7***************************************************
0,8****************************************************
0,9*****************************************************
1,0****************************************
1,1*****************************************
1,2*************************************
1,3******************
1,4**************************
1,5**************************
1,6*********************
1,7********************
1,8*******************
1,9**************
2,0***************
2,1*******
2,2***********
2,3****
2,4*******
2,5**
2,6****
2,7*
2,8*
2,9**


-3,0**
-2,9*
-2,8**
-2,7***
-2,6***
-2,5******
-2,4***
-2,3******
-2,2**********
-2,1**************
-2,0************
-1,9************
-1,8*********************
-1,7********************
-1,6*******************************
-1,5*****************************
-1,4******************************************
-1,3********************************
-1,2****************************************
-1,1***************************************************
-1,0****************************************************
-0,9*************************************************
-0,8****************************************************
-0,7**********************************************************
-0,6***********************************************************************
-0,5***********************************************************
-0,4*********************************************************************************
-0,3*********************************************************************************
-0,2****************************************************************************
-0,1********************************************************************************
0,0***********************************************************
0,1**************************************************************************
0,2**************************************************************************
0,3*************************************************************************
0,4************************************************************************************
0,5******************************************************************************************
0,6**************************************************************
0,7*************************************************
0,8*******************************************************
0,9****************************************************
1,0******************************************************
1,1************************************
1,2************************************
1,3***************************************
1,4***************************
1,5********************
1,6**************************
1,7********************
1,8***********
1,9***********
2,0***
2,1********
2,2*********
2,3*****
2,4**
2,5***
2,6**
2,7******
2,8****
2,9*


-3,0*
-2,9*
-2,8***
-2,7*
-2,6**
-2,5***
-2,4***
-2,3**********
-2,2**********
-2,1***********
-2,0*********
-1,9******************
-1,8*****************
-1,7********************
-1,6***************
-1,5******************************
-1,4***********************************
-1,3*******************************************
-1,2***********************************************
-1,1*******************************************
-1,0************************************************************
-0,9*************************************
-0,8****************************************************************
-0,7***********************************************************
-0,6***********************************************************************
-0,5******************************************************************
-0,4************************************************************************************
-0,3****************************************************************************
-0,2*****************************************************************************
-0,1*****************************************************************************************
0,0************************************************************
0,1****************************************************************************************
0,2*********************************************************************************
0,3***********************************************************************************
0,4****************************************************************
0,5***********************************************************************
0,6***********************************************************************
0,7************************************************
0,8********************************************************
0,9**********************************************************
1,0********************************************************************
1,1************************************
1,2***************************
1,3*****************************
1,4******************
1,5************************
1,6*************************
1,7*****************
1,8***********
1,9************
2,0***********
2,1***********
2,2***
2,3***
2,4*****
2,5*
2,6**
2,7**
2,8
2,9***

Nu har jag lärt mig lite mer "nytt". Jag har läst det här förr men
kommer inte ihåg så väldigt mycket.

• Betingad sannolikhet
  Betingad sannolikhet för B om A inträffat är det samma som kvoten mellan sannolikheten att både A och B inträffar och sannolikheten för att A inträffar.
  
  Ex.
  Om sannolikheten är 3/8 för att A ska inträffa och sannolikheten för att både A och B ska inträffa är 2/8 så kommer den betingade sannolikheten för B om A inträffat att bli (2/8)/(3/8) = 2/3
  
  Oberoende händelser
  Om den betingade sannolikheten för B om A inträffat är lika med sannolikheten att B inträffar så säger man att A och B är oberoende händelser.
  
  Ex.
  Om sannolikheten är 1/4 för att A ska inträffa och sannolikheten är 1/2 för att B ska inträffa så kommer sannolikheten för att både A och B ska inträffa bli (1/4)x(1/2) = 1/8

Alltså jag utgår från att mina 3 kurvor ovan är helt oberoende och tänker mig
att de representerar bruset från 3 motstånd.

Så frågan jag ställer mig nu är vad som händer om jag till exempel kopplar in dom
i en summatorkoppling på en OP? Eller till exempel vad blir sannolikheten för en viss
nivå av brus om jag parallellkopplar 3 st?

Edit: Jag funderar på om det här kan vara ett riktigt utfört exempel?

• Om sannolikheten för att brusspänningen ska bli mer än 10uV från resistor A är 0.15
  och sannolikheten för att brusspänningen ska bli mer än 5uV från resistor B är 0.35
  så kommer sannolikheten att båda dessa nivåer överskrids samtidigt att bli
  0.15x0.35 = 0.0525

Som jag skrev i mitt tidigare inlägg, om man vill förstå termiskt brus så skall man begrunda kinetisk gasteori.

Hittade en ganska bra serie om grundläggande fysik här:

http://galileo.phys.virginia.edu/classe ... heory.html

Lättläst och insiktfullt.
Tycker den är mycket bättre än wikipedia om man vill förstå fysiken ordentligt.

Finns en del bra böcker om brus i elektronik också.
Termiskt brus ska vara besläktat med Brownsk rörelse.
http://sv.wikipedia.org/wiki/Brownsk_r%C3%B6relse
När det gäller elektronik så är man ju oftast intresserad av
de praktiska konsekvenserna och det är kul att kunna veta
hur bruset i kretsen påverkas av olika kretstekniska lösningar.

Praktiska saker kan man också simulera i Spice. Det fungerar bra.

Och det finns många böcker, och alla är inte helbra. Och alla har inte heller råd att köpa dem, sorgligt nog!

Nu till själva kärnan:
I referensen
http://galileo.phys.virginia.edu/classe ... heory.html
står i kapitlet Maxwell’s Symmetry Argument följande strof:

"Next comes the clever part—since any direction is as good as any other direction, the distribution function must depend only on the total speed of the particle, not on the separate velocity components. Therefore, Maxwell argued, it must be that: ... "

Formlerna går inte hem här tyvärr, men här finns alltå det väsentliga i teorin: >rotationssymmetrin< hos hastighetsfördelningen. Gaussian.
Här krävs det att man funderar ett tag, men när det omsider klarnar, faller allt på plats. Sedan blir resten rätt enkelt. IMHO.

Nu har jag funderat lite mer. Körde 250000 slumptal som jag räknade
frekvensen på i 0.05 stora intervall. Frekvensen i varje intervall
dividerade jag med 250 000 och får då relativa frekvensen för varje
intervall.

Sedan testade jag något som var nytt för mig. Jag kopierade alla utskrivna
värden i konsolen och klistrade in i OpenOffice Calc och infogade ett diagram.

Visst går det inte ta miste på att det här är Gausskurvan!

Det blir inte riktigt rätt då jag bara kan ange typ 1.00, 1.05 osv som x-värden men
praktiskt spelar det mindre roll.

Den täthetsfunktionen ska ha en speciell funktion som jag i nuläget inte riktigt vet
hur de får fram. Ytan under kurvan ska vara 1 och den går inte integrera med elementär
integralkalkyl utan det ska krävas flerdimensionell integralkalkyl. Det går givetvis utföra
numerisk beräkning.

Jag funderar på om de staplar jag får ovan skulle gå att
multiplicera med diracs delta funktion? Om jag låter
programmet multiplicera varje stapel med en dirac så
borde det sedan gå att integrera sannolikhetsfunktionen
för att få täthetsfunktionen. Alternativet blir att summera
vilket ju blir mindre krångel.

Om du delar höjderna med 0.05 så blir nog arean ett under din kurva, och blir därmed jämförbar med standard normalfördelning: 1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2)

Normalfördelningen, den är inte så lätt att integrera med enbart kunskaper
i envariabelanalys. Men det finns ju tabeller. Eller så lösa det numeriskt.
Eller plöja igenom relevant kapitel i boken Calculus...

Jovisst, men jag tänkte om du ville göra en direkt jämfördelse med normalfördelningens täthetsfunktion. För att integrera så behövs ju som sagt någon numerisk metod (eller en dubbelintegral för att integrera hela eller halva).

Ja och felet lär inte bli stort.
Jag har sett en dubbelintegral där de substituerar med
polära korordinater och löser integralen på det sättet.

Sedan har jag funderat på hur de kommit fram till ekvationen för
normalfördelningen och har nu hittat att det finns flera sätt.

Ett är att titta på binomialfördelningens ekvation och välja lämliga
värden på konstanterna där så fås Ae^(-bx^2).