Re: Vad blir Strömmen?
Postat: 5 oktober 2024, 15:12:47
Ok. Jag tog en alvarlig diskussion med min AI i morse.
Den kom nu fram till att R inte går mot noll utan hamnar på 6.18 A Så grattis alla som trodde på det.
Om ni verkligen är intresserade så läs gärna hela konversationen till slutet så förstår ni hur jag menar att lösningen är.
jag fortsatte att fråg ut AI efter det första svaret.
Min första fråga:
"Jag tänker så här. Om man har ett oändligt antal iterationer med en seriell och en parallell resistans så kan man tro att kedjans totala resistans skulle gå mot noll. Varför gör den inte det och när i kedjan slutar de parallella resistanserna att inte leda ström?"
Svar av AI:
Det är en mycket bra fråga! Intuitionen kan lätt leda en till att tro att med ett oändligt antal parallellkopplade resistanser, där varje steg innehåller en parallell och en seriekopplad resistans, borde den totala resistansen minska till nästan noll. Låt oss analysera varför det inte blir så, och när (eller om) de parallellkopplade resistanserna slutar att leda ström.
Förståelse för den oändliga kedjan
Varje iteration av kedjan består av:
En resistans på 1 ohm som är seriekopplad med nästa steg.
En parallell resistans på 1 ohm kopplad över den seriella kopplingen.
För att förstå varför den totala resistansen inte går mot noll, måste vi granska hur strömmen fördelas över de parallellkopplade resistanserna och vad som händer när vi går längre och längre bort i kedjan.
Strömfördelning i varje steg
När vi ansluter en spänning över hela kedjan, fördelas strömmen genom både de seriekopplade och parallellkopplade resistanserna i varje steg. Ju längre bort från strömkällan vi går, desto mer resistans har redan lagts till på vägen, eftersom varje steg lägger till resistans (både seriekopplad och parallellkopplad). I de första stegen finns en tydlig strömfördelning mellan den seriekopplade resistansen och den parallellkopplade resistansen.
Hur strömmen avtar i varje steg:
I början av kedjan (närmast spänningen):
Här fördelas strömmen mellan den seriekopplade och parallellkopplade resistansen i varje steg.
Eftersom resistansen i de första stegen är relativt låg, passerar en betydande del av strömmen genom de parallellkopplade resistanserna.
Längre ut i kedjan:
När vi rör oss längre bort från strömkällan, ackumuleras allt mer resistans från de seriekopplade resistanserna.
Detta innebär att spänningen över de parallellkopplade resistanserna längre bort blir mycket liten, eftersom den stora seriekopplade resistansen "äter upp" spänningen.
Detta leder till att allt mindre ström passerar genom de parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan.
Varför resistansen inte går mot noll
Trots att vi har oändligt många parallellkopplade resistanser, är de kopplade efter en seriekopplad resistans. Varje gång vi lägger till ett nytt steg med en parallell resistans, adderar vi också en seriekopplad resistans på 1 ohm. Denna seriekopplade resistans hindrar effektivt den totala resistansen från att minska obegränsat.
Det som sker är att för varje nytt steg i kedjan adderas mer resistans, och därför blir den totala resistansen alltid begränsad av det faktum att varje steg innehåller en seriekopplad resistans på 1 ohm. Detta gör att även om parallellkopplade resistanser tenderar att minska resistansen, så överväger de seriekopplade resistanserna detta och håller den totala resistansen på en begränsad nivå.
När slutar de parallellkopplade resistanserna att leda ström?
I teorin slutar de parallellkopplade resistanserna aldrig helt att leda ström, men strömmen genom dem minskar exponentiellt ju längre bort i kedjan vi kommer. Varje nytt steg minskar spänningen över de parallellkopplade resistanserna, eftersom den tidigare seriekopplade resistansen har "stulit" en del av spänningen.
Så medan de första parallellkopplade resistanserna leder en märkbar ström, blir bidraget från de parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan så litet att de i praktiken kan anses som försumliga.
Slutsats
Den totala resistansen går inte mot noll på grund av de seriekopplade resistanserna som adderas i varje steg.
De parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan får mycket små spänningsfall över sig, vilket innebär att strömmen genom dem blir försumbar efter ett visst antal steg, även om den aldrig blir exakt noll.
Det är alltså kombinationen av seriekopplade och parallellkopplade resistanser som gör att den totala resistansen konvergerar till ett konstant värde (i det oändliga fallet roten ur 2 ohm), istället för att minska till noll.
Min fråga
"en slutsats som presenteras var följande:
"Den totala resistansen går inte mot noll på grund av de seriekopplade resistanserna som adderas i varje steg.
De parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan får mycket små värden, vilket innebär att den resistansen genom dem blir försumbar efter ett visst antal steg, även om den aldrig blir exakt noll." Vad jag reagerar på är att det finns ett spänningsfall som man inte längre räknar med för att det är ofantligt litet och därför försumbart. Men när vi talar om en ofantlig liten resistans som adderas till den totala resistansen så innebär det ju att processen fortgår mot R=0"
Svar av AI:
Jag förstår vad du menar, och din observation är helt riktig. När vi diskuterar ett "oändligt" antal steg med seriekopplade och parallellkopplade resistanser, kan man undra hur både spänningsfall och resistansen beter sig i den oändligt långa kedjan.
Låt oss utforska vad som händer med resistansen och spänningsfallet i sådana kedjor, och varför man ibland säger att dessa blir "försumbara", trots att de fortfarande existerar teoretiskt.
När resistansen aldrig blir exakt noll
I en oändlig kedja av resistanser, även om varje steg lägger till en parallell resistans som tenderar att minska den totala resistansen, adderas även en seriekopplad resistans som motverkar denna minskning. Det viktiga här är att:
De seriekopplade resistanserna ökar linjärt (adderas direkt).
De parallellkopplade resistanserna minskar icke-linjärt (deras bidrag minskar exponentiellt ju längre in i kedjan man går).
Därför närmar sig den totala resistansen ett gränsvärde, istället för att gå mot noll, vilket vi kan se från den rekursiva ekvationen vi använde tidigare. Trots att de parallellkopplade resistanserna fortsätter att minska resistansen, kommer summan av seriekopplade resistanser alltid att göra att den totala resistansen stabiliseras till ett begränsat värde.
Spänningsfallet och strömmen i varje steg
När vi talar om oändligt små värden för resistans och spänning, bör vi komma ihåg att Ohms lag gäller överallt, även i de mest avlägsna stegen i kedjan. Ju längre ut i kedjan vi går, desto högre blir den ackumulerade serieresistansen. Det innebär att spänningen som återstår för att driva ström genom varje parallellkopplad resistans blir mycket liten, men den är aldrig exakt noll.
Eftersom varje parallellkopplad gren fortfarande har en viss resistans (1 ohm), men spänningen som driver strömmen genom denna gren minskar exponentiellt, blir strömmen genom de parallellkopplade resistanserna också extremt liten. Därmed blir strömmen som passerar genom de parallellkopplade resistanserna längre bort i kedjan försumbar.
Men det är viktigt att betona att "försumbar" betyder mycket liten i praktiska termer, inte exakt noll.
Varför resistansen inte går mot noll
När vi säger att resistansen aldrig går mot noll, hänvisar vi till kombinationen av seriekopplade och parallellkopplade resistanser. Varje seriekopplad resistans lägger till ett fast belopp (1 ohm), medan varje parallellkopplad resistans minskar den totala resistansen. Men eftersom seriekopplade resistanser adderas linjärt, och varje ny parallellkopplad resistans ger ett allt mindre bidrag, konvergerar hela systemet mot ett stabilt värde — men aldrig mot noll.
Varför spänningsfallet blir "försumbar"
Låt oss titta på det matematiskt:
För varje ny seriekopplad resistans minskar den tillgängliga spänningen för den parallellkopplade delen. Vid varje steg fördelas spänningen mellan den seriekopplade och parallellkopplade resistansen.
När vi har passerat flera steg, är den tillgängliga spänningen över de parallellkopplade resistanserna så liten att strömmen genom dessa parallellkopplade resistanser nästan blir noll.
Det finns dock en gräns där spänningsfallet över de parallellkopplade resistanserna är så litet att det i praktiska termer inte spelar någon roll längre — i praktiska system, dvs. mätningar som är begränsade av mätinstrumentens precision eller systemets toleranser.
Men på teoretisk nivå fortsätter både ström och spänning att existera i dessa avlägsna parallellkopplade resistanser, även om deras bidrag är extremt små.
Slutsats
Resistansen går inte mot noll, eftersom varje steg lägger till en seriekopplad resistans, och det parallella bidraget minskar för varje steg.
De parallellkopplade resistanserna får ett mycket litet bidrag till strömmen och spänningsfallet längre bort i kedjan, men det är aldrig exakt noll. I praktiska termer kan deras bidrag bli försumbar, men rent teoretiskt existerar alltid en liten ström genom varje parallell resistor.
Spänningsfallet är ofantligt litet, men inte noll. Ju längre bort i kedjan du går, desto mindre blir spänningen över varje parallell resistor, men den försvinner aldrig helt.
Detta resonemang gäller i ett idealiserat system. I ett verkligt system skulle eventuella gränser för mätbarhet eller fysiska begränsningar (som värme, brist på perfekt komponenttolerans) göra att vi till slut når en praktisk gräns där vi säger att bidragen är "försumliga".
Mitt svar:
Jag vill inte släppa detta med oändligheten punkt 3 konstaterar: "Spänningsfallet är ofantligt litet, men inte noll. Ju längre bort i kedjan du går, desto mindre blir spänningen över varje parallell resistor, men den försvinner aldrig helt." Matematiska beskrivningar av frågan har ju ett svar som handlar om praktisk betydelse om vad som händer. Men om det fortfarande flyter ström, om aldrig så lite så kommer ju man ju aldrig i mål och det måste ju betyda att resistansen hela tiden fortsätter att närma sig noll. Problemet tror jag är att vår matematik inte kan hantera problem korrekt när vi talar om ett oändligt förlopp. Utan allt slutar så småningom med en praktisk approximation. Vi har ju ingen som helst användning för vad som händer med en krets av oändligt sammansatta steg. Vi kan varken belägga eller se vad som händer i slutet eftersom det inte finns något slut.
AI svarar:
Det du lyfter fram är en väldigt djupgående och viktig diskussion som handlar om hur vi hanterar oändlighet inom matematik och fysik, och hur vi tolkar sådana begrepp i praktiska tillämpningar. Låt oss försöka bryta ner detta i några centrala delar för att få en tydligare bild.
1. Matematiskt sett – Oändliga serier och gränsvärden
Inom matematik hanteras oändliga processer ofta med hjälp av gränsvärden. Det innebär att vi säger att ett oändligt antal iterationer konvergerar mot ett visst värde, även om det aldrig exakt når det värdet. I fallet med din elektriska krets är det precis vad som händer: resistansen närmar sig ett gränsvärde, men når det aldrig exakt. Matematiken säger att när du adderar oändligt många steg, får du ett ändligt värde för den totala resistansen.
Det beror på att varje ytterligare steg lägger till en allt mindre mängd till den totala resistansen. Efter tillräckligt många steg är bidraget så litet att det i praktiken inte påverkar slutresultatet.
När vi säger att "spänningen minskar exponentiellt" eller att "strömmen genom parallellkopplade resistanser blir försumbar", så innebär det att även om ström och spänning aldrig blir exakt noll, blir de matematiskt så små att de inte längre påverkar resultatet i praktisk bemärkelse.
2. Det praktiska problemet med oändlighet
Du har helt rätt när du säger att vi i praktiken inte har någon användning för en oändligt lång kedja av resistanser, och vi kan inte bygga eller observera något som har oändligt många steg. Oändligheten är ett matematiskt verktyg, en abstraktion, som hjälper oss att förstå vad som skulle hända om processen fortsatte för alltid. Men i verkligheten finns det alltid en gräns.
Exempelvis, om vi bygger en kedja med 100 eller 1000 steg, så kan vi mäta resistansen och strömmen upp till en viss noggrannhet. Vid något tillfälle blir bidraget från nästa steg så litet att det ligger under vår mätprecision, och därför kan vi säga att resistansen och strömmen har "stabiliserats". Detta är den praktiska approximation du nämner.
3. Den filosofiska aspekten av oändlighet
Det du säger är i grunden en filosofisk reflektion kring hur vi uppfattar oändliga processer och vad de innebär. I en oändlig kedja, där varje steg lägger till något, kan man intuitivt känna att processen aldrig når ett slut, och därför måste resistansen (eller strömmen) fortsätta förändras för alltid. Detta är en logisk utmaning eftersom vi, som du påpekar, aldrig kan observera vad som händer i slutet — för det finns inget slut.
Det är precis här matematiken erbjuder ett "verktyg" för att hantera sådana problem. Gränsvärden hjälper oss att förstå vad som händer "i det oändliga", även om vi aldrig kan nå dit. Vi säger alltså att systemet konvergerar mot ett slutvärde (som resistansen i din kedja), även om processen i praktiken aldrig tar slut.
4. Att aldrig komma i mål – Zenos paradox
Din tankegång påminner lite om Zenos paradox inom filosofi. Zeno argumenterade att om vi hela tiden halverar avståndet mellan två punkter, kommer vi aldrig att nå fram. Detta är en paradox eftersom vi vet att vi faktiskt kan nå fram, men oändligt små steg tycks säga något annat. På samma sätt verkar det som att resistansen i din krets aldrig riktigt når ett slutvärde eftersom det alltid finns ytterligare ett steg som lägger till lite mer.
Men matematiken löser detta genom att säga att summan av alla dessa oändligt små förändringar faktiskt konvergerar till ett ändligt värde.
5. Vad säger fysiken?
Fysik är till skillnad från ren matematik alltid begränsad till praktiska observationer och mätbarheter. Även om en matematisk modell förutsäger ett oändligt antal steg, skulle vi i verkligheten aldrig kunna mäta eller observera ett sådant system i sin helhet. Vi kan bara arbeta med ett ändligt antal steg, och därmed ett ändligt resultat.
I fallet med din krets kan vi säga att efter ett visst antal steg blir förändringarna i resistans så små att de ligger under den praktiska detekterbarheten. Från fysikens perspektiv kan vi därför dra en gräns och säga att systemet har stabiliserats, även om matematiken säger att processen fortfarande pågår.
6. Slutsats
Matematiskt: Resistansen i din oändliga kedja konvergerar mot ett bestämt värde (i detta fall
roten ur 2 ohm), även om det aldrig exakt når det.
Praktiskt: I verkliga tillämpningar finns alltid en begränsning i hur många steg vi kan bygga eller mäta, och efter ett visst antal steg kommer förändringen att bli så liten att den kan betraktas som försumbar. I det ögonblicket säger vi att systemet har "nått sitt mål" i praktisk bemärkelse.
Filosofiskt: Din observation om att oändligheten aldrig når ett mål och därför måste resistansen fortsätta att minska är en valid reflektion, men matematiken ger oss verktyg för att hantera sådana problem genom att arbeta med gränsvärden och konvergens.
Oändlighet är alltid svår att tal steg, även om vi i praktiken aldrig når "slutet" av den processen.
Min slutreflektion:
Matematiken slutar alltså att ta hänsyn till förändringen när den blir så liten så att den är försummbar i praktiken. Där klämmer man till med ett, näe nu slutar vi att räkna och påstår att vi är framme. Fast i teorin kommer man aldrig fram. I praktiken strävar resistansen mot 0 ouphörligen. AI kallar det för en filosofisk och valid reflektion, jag kallar det för sunt bondförnuft.
Den kom nu fram till att R inte går mot noll utan hamnar på 6.18 A Så grattis alla som trodde på det.
Om ni verkligen är intresserade så läs gärna hela konversationen till slutet så förstår ni hur jag menar att lösningen är.
jag fortsatte att fråg ut AI efter det första svaret.
Min första fråga:
"Jag tänker så här. Om man har ett oändligt antal iterationer med en seriell och en parallell resistans så kan man tro att kedjans totala resistans skulle gå mot noll. Varför gör den inte det och när i kedjan slutar de parallella resistanserna att inte leda ström?"
Svar av AI:
Det är en mycket bra fråga! Intuitionen kan lätt leda en till att tro att med ett oändligt antal parallellkopplade resistanser, där varje steg innehåller en parallell och en seriekopplad resistans, borde den totala resistansen minska till nästan noll. Låt oss analysera varför det inte blir så, och när (eller om) de parallellkopplade resistanserna slutar att leda ström.
Förståelse för den oändliga kedjan
Varje iteration av kedjan består av:
En resistans på 1 ohm som är seriekopplad med nästa steg.
En parallell resistans på 1 ohm kopplad över den seriella kopplingen.
För att förstå varför den totala resistansen inte går mot noll, måste vi granska hur strömmen fördelas över de parallellkopplade resistanserna och vad som händer när vi går längre och längre bort i kedjan.
Strömfördelning i varje steg
När vi ansluter en spänning över hela kedjan, fördelas strömmen genom både de seriekopplade och parallellkopplade resistanserna i varje steg. Ju längre bort från strömkällan vi går, desto mer resistans har redan lagts till på vägen, eftersom varje steg lägger till resistans (både seriekopplad och parallellkopplad). I de första stegen finns en tydlig strömfördelning mellan den seriekopplade resistansen och den parallellkopplade resistansen.
Hur strömmen avtar i varje steg:
I början av kedjan (närmast spänningen):
Här fördelas strömmen mellan den seriekopplade och parallellkopplade resistansen i varje steg.
Eftersom resistansen i de första stegen är relativt låg, passerar en betydande del av strömmen genom de parallellkopplade resistanserna.
Längre ut i kedjan:
När vi rör oss längre bort från strömkällan, ackumuleras allt mer resistans från de seriekopplade resistanserna.
Detta innebär att spänningen över de parallellkopplade resistanserna längre bort blir mycket liten, eftersom den stora seriekopplade resistansen "äter upp" spänningen.
Detta leder till att allt mindre ström passerar genom de parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan.
Varför resistansen inte går mot noll
Trots att vi har oändligt många parallellkopplade resistanser, är de kopplade efter en seriekopplad resistans. Varje gång vi lägger till ett nytt steg med en parallell resistans, adderar vi också en seriekopplad resistans på 1 ohm. Denna seriekopplade resistans hindrar effektivt den totala resistansen från att minska obegränsat.
Det som sker är att för varje nytt steg i kedjan adderas mer resistans, och därför blir den totala resistansen alltid begränsad av det faktum att varje steg innehåller en seriekopplad resistans på 1 ohm. Detta gör att även om parallellkopplade resistanser tenderar att minska resistansen, så överväger de seriekopplade resistanserna detta och håller den totala resistansen på en begränsad nivå.
När slutar de parallellkopplade resistanserna att leda ström?
I teorin slutar de parallellkopplade resistanserna aldrig helt att leda ström, men strömmen genom dem minskar exponentiellt ju längre bort i kedjan vi kommer. Varje nytt steg minskar spänningen över de parallellkopplade resistanserna, eftersom den tidigare seriekopplade resistansen har "stulit" en del av spänningen.
Så medan de första parallellkopplade resistanserna leder en märkbar ström, blir bidraget från de parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan så litet att de i praktiken kan anses som försumliga.
Slutsats
Den totala resistansen går inte mot noll på grund av de seriekopplade resistanserna som adderas i varje steg.
De parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan får mycket små spänningsfall över sig, vilket innebär att strömmen genom dem blir försumbar efter ett visst antal steg, även om den aldrig blir exakt noll.
Det är alltså kombinationen av seriekopplade och parallellkopplade resistanser som gör att den totala resistansen konvergerar till ett konstant värde (i det oändliga fallet roten ur 2 ohm), istället för att minska till noll.
Min fråga
"en slutsats som presenteras var följande:
"Den totala resistansen går inte mot noll på grund av de seriekopplade resistanserna som adderas i varje steg.
De parallellkopplade resistanserna längre ut i kedjan får mycket små värden, vilket innebär att den resistansen genom dem blir försumbar efter ett visst antal steg, även om den aldrig blir exakt noll." Vad jag reagerar på är att det finns ett spänningsfall som man inte längre räknar med för att det är ofantligt litet och därför försumbart. Men när vi talar om en ofantlig liten resistans som adderas till den totala resistansen så innebär det ju att processen fortgår mot R=0"
Svar av AI:
Jag förstår vad du menar, och din observation är helt riktig. När vi diskuterar ett "oändligt" antal steg med seriekopplade och parallellkopplade resistanser, kan man undra hur både spänningsfall och resistansen beter sig i den oändligt långa kedjan.
Låt oss utforska vad som händer med resistansen och spänningsfallet i sådana kedjor, och varför man ibland säger att dessa blir "försumbara", trots att de fortfarande existerar teoretiskt.
När resistansen aldrig blir exakt noll
I en oändlig kedja av resistanser, även om varje steg lägger till en parallell resistans som tenderar att minska den totala resistansen, adderas även en seriekopplad resistans som motverkar denna minskning. Det viktiga här är att:
De seriekopplade resistanserna ökar linjärt (adderas direkt).
De parallellkopplade resistanserna minskar icke-linjärt (deras bidrag minskar exponentiellt ju längre in i kedjan man går).
Därför närmar sig den totala resistansen ett gränsvärde, istället för att gå mot noll, vilket vi kan se från den rekursiva ekvationen vi använde tidigare. Trots att de parallellkopplade resistanserna fortsätter att minska resistansen, kommer summan av seriekopplade resistanser alltid att göra att den totala resistansen stabiliseras till ett begränsat värde.
Spänningsfallet och strömmen i varje steg
När vi talar om oändligt små värden för resistans och spänning, bör vi komma ihåg att Ohms lag gäller överallt, även i de mest avlägsna stegen i kedjan. Ju längre ut i kedjan vi går, desto högre blir den ackumulerade serieresistansen. Det innebär att spänningen som återstår för att driva ström genom varje parallellkopplad resistans blir mycket liten, men den är aldrig exakt noll.
Eftersom varje parallellkopplad gren fortfarande har en viss resistans (1 ohm), men spänningen som driver strömmen genom denna gren minskar exponentiellt, blir strömmen genom de parallellkopplade resistanserna också extremt liten. Därmed blir strömmen som passerar genom de parallellkopplade resistanserna längre bort i kedjan försumbar.
Men det är viktigt att betona att "försumbar" betyder mycket liten i praktiska termer, inte exakt noll.
Varför resistansen inte går mot noll
När vi säger att resistansen aldrig går mot noll, hänvisar vi till kombinationen av seriekopplade och parallellkopplade resistanser. Varje seriekopplad resistans lägger till ett fast belopp (1 ohm), medan varje parallellkopplad resistans minskar den totala resistansen. Men eftersom seriekopplade resistanser adderas linjärt, och varje ny parallellkopplad resistans ger ett allt mindre bidrag, konvergerar hela systemet mot ett stabilt värde — men aldrig mot noll.
Varför spänningsfallet blir "försumbar"
Låt oss titta på det matematiskt:
För varje ny seriekopplad resistans minskar den tillgängliga spänningen för den parallellkopplade delen. Vid varje steg fördelas spänningen mellan den seriekopplade och parallellkopplade resistansen.
När vi har passerat flera steg, är den tillgängliga spänningen över de parallellkopplade resistanserna så liten att strömmen genom dessa parallellkopplade resistanser nästan blir noll.
Det finns dock en gräns där spänningsfallet över de parallellkopplade resistanserna är så litet att det i praktiska termer inte spelar någon roll längre — i praktiska system, dvs. mätningar som är begränsade av mätinstrumentens precision eller systemets toleranser.
Men på teoretisk nivå fortsätter både ström och spänning att existera i dessa avlägsna parallellkopplade resistanser, även om deras bidrag är extremt små.
Slutsats
Resistansen går inte mot noll, eftersom varje steg lägger till en seriekopplad resistans, och det parallella bidraget minskar för varje steg.
De parallellkopplade resistanserna får ett mycket litet bidrag till strömmen och spänningsfallet längre bort i kedjan, men det är aldrig exakt noll. I praktiska termer kan deras bidrag bli försumbar, men rent teoretiskt existerar alltid en liten ström genom varje parallell resistor.
Spänningsfallet är ofantligt litet, men inte noll. Ju längre bort i kedjan du går, desto mindre blir spänningen över varje parallell resistor, men den försvinner aldrig helt.
Detta resonemang gäller i ett idealiserat system. I ett verkligt system skulle eventuella gränser för mätbarhet eller fysiska begränsningar (som värme, brist på perfekt komponenttolerans) göra att vi till slut når en praktisk gräns där vi säger att bidragen är "försumliga".
Mitt svar:
Jag vill inte släppa detta med oändligheten punkt 3 konstaterar: "Spänningsfallet är ofantligt litet, men inte noll. Ju längre bort i kedjan du går, desto mindre blir spänningen över varje parallell resistor, men den försvinner aldrig helt." Matematiska beskrivningar av frågan har ju ett svar som handlar om praktisk betydelse om vad som händer. Men om det fortfarande flyter ström, om aldrig så lite så kommer ju man ju aldrig i mål och det måste ju betyda att resistansen hela tiden fortsätter att närma sig noll. Problemet tror jag är att vår matematik inte kan hantera problem korrekt när vi talar om ett oändligt förlopp. Utan allt slutar så småningom med en praktisk approximation. Vi har ju ingen som helst användning för vad som händer med en krets av oändligt sammansatta steg. Vi kan varken belägga eller se vad som händer i slutet eftersom det inte finns något slut.
AI svarar:
Det du lyfter fram är en väldigt djupgående och viktig diskussion som handlar om hur vi hanterar oändlighet inom matematik och fysik, och hur vi tolkar sådana begrepp i praktiska tillämpningar. Låt oss försöka bryta ner detta i några centrala delar för att få en tydligare bild.
1. Matematiskt sett – Oändliga serier och gränsvärden
Inom matematik hanteras oändliga processer ofta med hjälp av gränsvärden. Det innebär att vi säger att ett oändligt antal iterationer konvergerar mot ett visst värde, även om det aldrig exakt når det värdet. I fallet med din elektriska krets är det precis vad som händer: resistansen närmar sig ett gränsvärde, men når det aldrig exakt. Matematiken säger att när du adderar oändligt många steg, får du ett ändligt värde för den totala resistansen.
Det beror på att varje ytterligare steg lägger till en allt mindre mängd till den totala resistansen. Efter tillräckligt många steg är bidraget så litet att det i praktiken inte påverkar slutresultatet.
När vi säger att "spänningen minskar exponentiellt" eller att "strömmen genom parallellkopplade resistanser blir försumbar", så innebär det att även om ström och spänning aldrig blir exakt noll, blir de matematiskt så små att de inte längre påverkar resultatet i praktisk bemärkelse.
2. Det praktiska problemet med oändlighet
Du har helt rätt när du säger att vi i praktiken inte har någon användning för en oändligt lång kedja av resistanser, och vi kan inte bygga eller observera något som har oändligt många steg. Oändligheten är ett matematiskt verktyg, en abstraktion, som hjälper oss att förstå vad som skulle hända om processen fortsatte för alltid. Men i verkligheten finns det alltid en gräns.
Exempelvis, om vi bygger en kedja med 100 eller 1000 steg, så kan vi mäta resistansen och strömmen upp till en viss noggrannhet. Vid något tillfälle blir bidraget från nästa steg så litet att det ligger under vår mätprecision, och därför kan vi säga att resistansen och strömmen har "stabiliserats". Detta är den praktiska approximation du nämner.
3. Den filosofiska aspekten av oändlighet
Det du säger är i grunden en filosofisk reflektion kring hur vi uppfattar oändliga processer och vad de innebär. I en oändlig kedja, där varje steg lägger till något, kan man intuitivt känna att processen aldrig når ett slut, och därför måste resistansen (eller strömmen) fortsätta förändras för alltid. Detta är en logisk utmaning eftersom vi, som du påpekar, aldrig kan observera vad som händer i slutet — för det finns inget slut.
Det är precis här matematiken erbjuder ett "verktyg" för att hantera sådana problem. Gränsvärden hjälper oss att förstå vad som händer "i det oändliga", även om vi aldrig kan nå dit. Vi säger alltså att systemet konvergerar mot ett slutvärde (som resistansen i din kedja), även om processen i praktiken aldrig tar slut.
4. Att aldrig komma i mål – Zenos paradox
Din tankegång påminner lite om Zenos paradox inom filosofi. Zeno argumenterade att om vi hela tiden halverar avståndet mellan två punkter, kommer vi aldrig att nå fram. Detta är en paradox eftersom vi vet att vi faktiskt kan nå fram, men oändligt små steg tycks säga något annat. På samma sätt verkar det som att resistansen i din krets aldrig riktigt når ett slutvärde eftersom det alltid finns ytterligare ett steg som lägger till lite mer.
Men matematiken löser detta genom att säga att summan av alla dessa oändligt små förändringar faktiskt konvergerar till ett ändligt värde.
5. Vad säger fysiken?
Fysik är till skillnad från ren matematik alltid begränsad till praktiska observationer och mätbarheter. Även om en matematisk modell förutsäger ett oändligt antal steg, skulle vi i verkligheten aldrig kunna mäta eller observera ett sådant system i sin helhet. Vi kan bara arbeta med ett ändligt antal steg, och därmed ett ändligt resultat.
I fallet med din krets kan vi säga att efter ett visst antal steg blir förändringarna i resistans så små att de ligger under den praktiska detekterbarheten. Från fysikens perspektiv kan vi därför dra en gräns och säga att systemet har stabiliserats, även om matematiken säger att processen fortfarande pågår.
6. Slutsats
Matematiskt: Resistansen i din oändliga kedja konvergerar mot ett bestämt värde (i detta fall
roten ur 2 ohm), även om det aldrig exakt når det.
Praktiskt: I verkliga tillämpningar finns alltid en begränsning i hur många steg vi kan bygga eller mäta, och efter ett visst antal steg kommer förändringen att bli så liten att den kan betraktas som försumbar. I det ögonblicket säger vi att systemet har "nått sitt mål" i praktisk bemärkelse.
Filosofiskt: Din observation om att oändligheten aldrig når ett mål och därför måste resistansen fortsätta att minska är en valid reflektion, men matematiken ger oss verktyg för att hantera sådana problem genom att arbeta med gränsvärden och konvergens.
Oändlighet är alltid svår att tal steg, även om vi i praktiken aldrig når "slutet" av den processen.
Min slutreflektion:
Matematiken slutar alltså att ta hänsyn till förändringen när den blir så liten så att den är försummbar i praktiken. Där klämmer man till med ett, näe nu slutar vi att räkna och påstår att vi är framme. Fast i teorin kommer man aldrig fram. I praktiken strävar resistansen mot 0 ouphörligen. AI kallar det för en filosofisk och valid reflektion, jag kallar det för sunt bondförnuft.
